Número monográfico en Generalización



Luis Radford

The phenomenological, epistemological, and semiotic components of generalization

In the first part of this article, I argue that generalization involves three related components: phenomenological, epistemological, and semiotic. I also argue that the concept of generalization conveyed by theories of knowing (e.g., rationalist and empiricist) depends on the manner in which these theories understand the above three components and their interrelations. I elaborate my argument in reference to a cultural-historical dialectical concept of generalization. In the second part of the article, I provide an overview of the articles contained in this special issue and discuss their contributions to educational research.

Los componentes fenomenológico, epistemológico y semiótico de la generalización
En la primera parte de este artículo, sostengo que la generalización incluye tres componentes entrelazados: un componente fenomenológico, un componente epistemológico y un componente semiótico. También sostengo que el concepto de generalización que presentan las teorías del conocimiento (por ejemplo, teorías racionalistas y empiristas) depende de la manera en que esas teorías conciben los tres componentes anteriores y sus interrelaciones. Mi argumento es elaborado a partir de un concepto cultural histórico dialéctico de generalización. En la segunda parte del artículo, hago un resumen de los artículos contenidos en este número especial y discuto sus contribuciones a la investigación en educación.
PNA 9(3), 129-141
Handle: http://hdl.handle.net/10481/34986
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Michael F. Otte, Tânia M. Mendonça, and Luiz de Barros

Generalizing is necessary or even unavoidable

The problems of geometry and mechanics have driven forward the generalization of the concepts of number and function. This shows how application and generalization together prevent that mathematics becomes a mere formalism. Thoughts are signs and signs have meaning within a certain context. Meaning is a function of a term: This function produces a pattern. Algebra or modern axiomatic come to mind, as examples. However, strictly formalistic mathematics did not pay sufficient attention to the fact that modern axiomatic theories require a complementary element, in terms of intended applications or models, not to end up in a merely formal game.

La generalización es necesaria o incluso inevitable
Los problemas de geometría y mecánica han motivado la generalización de los conceptos de número y función. Esto muestra cómo la aplicación y la generalización previenen que las matemáticas sean un mero formalismo. Los pensamientos son signos y los signos tienen un significado dentro de un cierto contexto. El significado es una función de un término: esta función produce un patrón. El álgebra o la moderna axiomática vienen a la mente como ejemplos. Sin embargo, las matemáticas estrictamente formales no prestaron suficiente atención al hecho de que las teorías axiomáticas modernas requieren un elemento complementario, en términos de aplicaciones intencionadas o modelos, para no terminar en un juego meramente formal.
PNA 9(3), 143-164
Handle: http://hdl.handle.net/10481/34987
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Ferdinand Rivera

The distributed nature of pattern generalization

Drawing on a review of recent work conducted in the area of pattern generalization (PG), this paper makes a case for a distributed view of PG, which basically situates processing ability in terms of convergences among several different factors that influence PG. Consequently, the distributed nature leads to different types of PG that depend on the nature of a given PG task and a host of cognitive, sociocultural, classroom-related, and unexplored factors. Individual learners draw on a complex net of parallel choices, where every choice depends on the strength of ongoing training and connections among factors, with some factors appearing to be more predictable than others.

La naturaleza distribuida de la generalización de patrones
Sobre la base de una revisión de trabajos recientes en el área de generalización de patrones (PG), este artículo aboga por una visión distribuida de PG, que básicamente sitúa la capacidad de procesamiento en términos de convergencias entre diferentes factores que influyen en PG. En consecuencia, la naturaleza distribuida conduce a diferentes tipos de PG que dependen de la naturaleza de una tarea PG dada y una serie de factores cognitivos, socioculturales, inexplorados y relacionadas con el aula. Alumnos individuales se basan en una compleja red de opciones paralelas, donde cada elección depende de la fortaleza de la formación continua y las conexiones entre los factores, con algunos factores más predecibles que otros.
PNA 9(3), 165-191
Handle: http://hdl.handle.net/10481/34989
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Rodolfo Vergel

Generalización de patrones y formas de pensamiento algebraico temprano

Este artículo aborda la emergencia de formas de pensamiento algebraico en estudiantes jóvenes y muestra evidencias sobre su evolución. En la primera parte se expone el problema, investigado a partir de la forma en que surgen y evolucionan nuevas relaciones entre el cuerpo, la percepción y el inicio del uso de símbolos a medida que los estudiantes participan en actividades sobre generalización de patrones. La segunda parte presenta algunos constructos analíticos de la teoría de la objetivación. En la tercera se expone la metodología, destacando la recolección de los datos y su análisis. En el resto del trabajo se discuten algunos resultados que alimentan reflexiones sobre el desarrollo del pensamiento algebraico.

Generalization of patterns and forms of early algebraic thinking
This paper addresses the emergence of algebraic thinking forms in young students and we show evidences of their evolution. First, we present the research problem, it is tackled from the way in which new relationships between the body, perception and initiation of use of symbols are emerged and evolved while students participate in activities about generalization of patterns. In the second part, we show some analytical constructs on the theory of objectification. In the third part, we present methodology, highlighting data collection and their analysis. Finally, we discuss some results that feed reflections on the development of algebraic thinking.
PNA 9(3), 193-215
Handle: http://hdl.handle.net/10481/34991
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George Santi and Anna Baccaglini-Frank

Forms of generalization in students experiencing mathematical learning difficulties

We shift the view of a special needs student away from the acknowledged view, that is as a student who requires interventions to restore a currently expected functioning behaviour, introducing a new paradigm to frame special needs students’ learning of mathematics. We use the theory of objectification and the new paradigm to look at (and characterize) students’ learning experiences in mathematics as generalizing reflexive mediated activity. In particular, from this perspective, we present examples of shifts to higher levels of generalization of a student with mathematical learning difficulties working with Mak-Trace, a Logo-like educational software for the iPad.

Formas de generalización en estudiantes con dificultades de aprendizaje en matemáticas
En este artículo introducimos un nuevo paradigma para enmarcar el aprendizaje de las matemáticas de alumnos con necesidades especiales. Consideramos una visión de los estudiantes con necesidades especiales diferente a la comúnmente aceptada que los considera como estudiantes que requieren intervención para reestablecer el comportamiento actualmente esperado. Utilizamos la teoría de la objetivización y ese nuevo paradigma para observar (y caracterizar) las experiencias de aprendizaje de las matemáticas entendido como actividad reflexiva y mediada de generalización. En particular, desde esta perspectiva proponemos ejemplos de acceso a niveles superiores de generalización de un estudiante con dificultades de aprendizaje de las matemáticas que utiliza Mak-Trace, un software didáctico para iPad parecido a Logo.
PNA 9(3), 217-243
Handle: http://hdl.handle.net/10481/34993
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Giuliano D’Eredità and Mario Ferro

Generalization in chess thinking

In this work we deal with generalization in chess thinking. Generalization is a complex process based on information people acquired during previous experiences. In the field of chess, chess books, chess education and personal game practice supply the information for generalization to occur. The way in which generalization is performed in chess is still a topic that deserves more research. In this article we dwell on early theories about chess thinking. We underline the role played by what we call configural concepts, in which geometrical patterns and logical expected developments coexist. We suggest that the idea of configural concepts, along with generalization and abduction constitute the basis of chess thinking.

Generalización en el pensamiento al jugar ajedrez
En este trabajo abordamos la generalización en el pensamiento en el juego del ajedrez. La generalización es un complejo proceso basado en información adquirida durante experiencias previas. En el campo del ajedrez, los libros de ajedrez, la educación en el ajedrez y la práctica personal con el juego aportan la información que posibilita la generalización. La forma en que la generalización se produce en el ajedrez es todavía un tema que merece más investigación. En este artículo consideramos teorías tempranas sobre el pensamiento en el ajedrez. Subrayamos el papel que juegan lo que llamamos conceptos configurales, en los cuales coexisten los patrones geométricos y desarrollos lógicos esperados. Sugerimos que la idea de conceptos configurales, junto con la generalización y la abducción constituyen la base del pensamiento en el ajedrez.
PNA 9(3), 245-259
Handle: http://hdl.handle.net/10481/34995
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